Основну школу завршио у селу Веље Дубоко, ниже разреде гимназије у Колашину и Славонском Броду, а вишу гимназију са матуром у Ваљеву. Отац Матијин, Вук Бећковић је био официр војске Краљевине Југославије, 1944. године придружује се четницима и исте године гине у Словенији.
Школске 1958/59, године уписао се на Филолошки факултет у Београду на групу за југословенску и општу књижевност. Прву песму је штампао као гимназијалац 1957. у „Младој култури“.
Бећковићеви прозни и поетски текстови приређивани су за позориште и извођени на домаћим и страним сценама. У Народном позоришту у Београду је 1978. године изведена „Међа Вука Манитога“, а потом монодраме „Рече ми један човек“ и „Не знаш ти њих“.
У Загребачком театру „ИТД “, „Казалишту младих“, „Јазавцу “, „Театру ММ “, Српском народном позоришту, „Клубу М “, изведене су позоришне представе по Бећковићевим текстовима.
У Савременом позоришту у Београду изведена је 1970/71. комедија „Београд некад и сад“, са истоименим комедијама Стерије и Нушића.
Написао је две телевизијске драме и две једночинке за децу које је Телевизија Београд емитовала 1966. и 1967. године.
Адаптирао је (са Бориславом Михајловићем Михизом) „Горски венац“, представа је изведена на сцени Народног позоришта у Београду.
Драмска поема „Че - трагедија која траје“ (са Душаном Радовићем) преведена је на немачки језик (Che-tragodije, Frankfurt am Main 1969) и енглески (Che: Permanent tragedy, New York 1970).
Записи из књиге „О међувремену“ преведени су на енглески под називом „Random Targets“ 1970. године.
За своје песништво Бећковић је добио награде: Милан Ракић, Октобарску, Седмојулску, Змајеву, Дисово пролеће, Беловодску розету, Златни крст кнеза Лазара, Равногорску, Стефан Митров Љубиша, Велику Базјашку повељу, Одзиви Филипу Вишњићу, Библиос, Награду Вукове задужбине, Његошеву награду, Жичку хрисовуљу итд.
За поему „Ћераћемо се још“ добио је награде Типар, Златни бестселер, Јован Дучић и Лаза Костић.
За дописног члана САНУ изабран је 1983. године, а за редовног 1991. године. Члан је Српског ПЕН центра.
Његова супруга се звала Вера Павладољска (њој је посветио једну од његових најпознатијих песама, коју је касније изводио Арсен Дедић) и са њом има ћерке Људмилу и Ољу.
Академик Бећковић је један од ретких академика који су Слободана Милошевића критиковали још 1991. године (нпр. "Српска војска је заузела Скадар и Једрене, а ова не може Борово Село и Тење (Време, 2. 12. 1991.). Током његовог режима учествовао је на бројним протестним скуповима.
Бећковић је близак пријатељ Војислава Коштунице. Бећковић активно подржава Демократску странку Србије на чијим је митинзима више пута и говорио.
Од 2009. године је Председник Фонда Слободан Јовановић у Београду.
Награде и признања
Седмојулска награда за књижевност (1989); Повеља Карађорђе 2005; Награда Радоје Домановић за укупан допринос српској књижевној сатири; Књижевни венац Козаре (2008).
